1. 簡介

R. W. Erickson《Fundamentals of Power Electronics [2nd Edition]》的這本書，想必從事電源的同行們都不陌生，是一部非常經典的著作，非常全面且基礎性的闡述了電力電子基礎技術。

遺憾的是，目前還沒有中文版本被翻譯出來。

有幸的是，有些同行對部分章節做了翻譯，需要了解的可以自行搜索。該書第5章節寫的是“The Discontinuous Conduction Mode”非連續導通模式，分析并總結了BUCK、BOOST和BUCK-BOOST這三種拓撲分別工作在CCM或DCM的條件。

我在學習過程中，看到有個公眾號翻譯文章的結尾，看到有人留言說5.28不是由5.19和5.27聯立解得，只是個近似。

實際上，5.28是由5.19和5.27聯立解得的，R. W. Erickson在書中直接給出了結果5.28，沒有給出解方程的過程。此文，給出具體的解方程的過程。

2. BUCK電路DCM模式的電壓轉換比

圖 3.8 降壓電路DCM模式下的電感電壓和電流波形

2.1 將“伏秒平衡”應用于降壓電路DCM模式的電感電壓波形

“伏秒平衡”這個“宗（底層不變的基本原理）”在降壓電路的CCM、BCM和DCM三個模式下都是始終成立的。

如前“3.1.4.1 CCM模式下的直流增益和直流傳遞函數”章節所述，降壓電路CCM模式下 T_ON 時間內的電感電壓為 V_(L,ON)=V_IN-V_OUT ，T_OFF 時間內的電感電壓為 V_(L,OFF)=-V_OUT （電感電流是減小的，感應電壓與輸出電壓方向相反），這同樣適用于DCM模式。

針對降壓電路DCM模式下整個 T_SW 周期內，使用“伏秒平衡”原理可得（導通時間 T_ON 使用 D1*T_SW 表示，關斷時間 T_OFF 使用 D2*T_SW 表示，未知時間使用 D3*T_SW 表示）：

從而，解得 (D1+D2) 的表達式如下：

這由“伏秒平衡”原理得到。這里需要知道的是，D2 是未知參數。

2.2 將“電荷平衡”應用于降壓電路DCM模式的電容電流波形

基于降壓電路拓撲的“輸出節點”，由基爾霍夫定律電流定律可知，電感電流等于電容電流與負載電流之和（負載電流使用 I_OUT = V_OUT / R 表示），即

由“伏秒平衡”可知，輸出電容上的電流平均值為零，即

所以，電感電流平均值等于負載電流，即

根據平均值計算公式(3.6)可知，降壓電路DCM模式下的電感電流平均值（同時也是負載電流平均值，因為輸出電容電流平均值為零）就是電流曲線三角形的面積對開關周期 T_SW 的平均，即(3.55)

這里，電感電流平均值的計算，也可以參考“3.3.5 電感的平均電流”章節的方法，直接將電感瞬時電流公式代入平均值計算公式得到。如圖 3.8所示，或根據電感公式 ?I/?T=V/L 可知，降壓電路DCM模式下的電感電流峰值為

綜合(3.54) (3.55) (3.56)可得

這由“電荷平衡”原理得到。這里需要知道的是，V_OUT 是未知參數，負載電阻 R 是已知參數。

2.3 解方程組

聯立(3.51)和(3.57)，將公式(3.51)代入公式(3.57)（消去D2），可得：

將上述等式稍微整理，可得

將上述等式兩邊同時除以 V_OUT ，且稍加整理，可得：

將上述等式兩邊同時乘以 2L/(D1^(2)*T_SW ) ，可得：

因為，降壓電路的輸入電壓 V_IN 和輸出電壓 V_OUT 都是大于0的，所以方程(3.62)的根1（即公式(3.64)）的倒數就是降壓電路DCM模式下的電壓轉換比，即

以上公式中， D 或 D1 表示導通時間的占空比，D2 表示關斷時間的占空比，D3 表示降壓電路DCM模式下未知時間的占空比， M_DCM (D,K) 中的“D”，表示 M_DCM (D,K) 是占空比D的函數（同時也是K的函數）。

3. 總結

1. 此文，推導并解方程得到BUCK電路DCM模式的電壓轉換比為公式(3.67)，R. W. Erickson《Fundamentals of Power Electronics [2nd Edition]》書中給出的是(5.28)（重寫如下），可見(3.67)與(5.28)是相同的。

2. 此文，重點分步給出了解方程的過程，聯立(3.51)和(3.57)之后，將(3.58)轉換為一元二次方程，進而求解，容易得到(3.67)或(5.28)。

推薦關注“電源先生”