第一部分-電路中的磁性元件（三）

周潔敏 2020-11-14 15:31 238 閱讀 4 贊 3 收藏 0 評論

下面我們來研究一個比較重要的物理量，也就是耦合系數。那么它是描述兩個電感之間的耦合程度。

下面我們先看右圖，在一個磁芯上繞了兩匝線圈N1和N2，i1線電流通過N1線圈產生的磁通Φ11，其中有一部分磁通同時也設立了N2線圈稱為Φ12，那么還有一部分磁通，沒有經過磁芯和空氣制成閉合回路稱為Φ1s，那么我們稱為漏磁通，那么線圈N2對線圈N1的耦合度可以用k1來表示， $k_{1}=\frac{\Phi_{12}}{\Phi_{11}}$ 。另外我們還可以獲得，如果要計算線圈N1對線圈N2的耦合度就用k2來表示， $k_{2}=\frac{\Phi_{21}}{\Phi_{22}}$ 。

前面我們求解了兩個線圈的耦合系數k1和k2，那么兩個互感的耦合程度到底是多少呢？我們用 $k=\sqrt{k_{1}k_{2}}$ 求幾何平均數的方法來求解。那么經過推導 $k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}$ ，其中電感 $L=\frac{\Psi}{i}=\frac{N\Phi}{i}$ ，從公式上我們可以看到 Φ12<Φ11，Φ21<Φ22，所以k≤1。只有在沒有漏磁的情況下，耦合系數k才能等于磁芯閉合磁路互感線圈可以近似k=1，這種情況稱為全耦合，此時的互感M為最大。所以通常最大的互感 $M_{m}=\sqrt{L_{1}L_{2}}$ 。在一般情況下耦合系數可以表示為

$k=\frac{M}{M_{m}}$ 。

下面我們來研究電感的連接。第一種是要討論電感線圈的串聯，那么電感線圈串聯的話分兩種情況，第一種情況是兩個沒有磁耦合的電感的串聯，還有一個是兩個有磁耦合的電感串聯。下面我們分別來介紹。

兩個沒有磁耦合的電感相串聯。那么第一種情況是異名端相連的形式，左下圖所示，那么他們的總電感我們用L13表示，L13=L12+L43。那么如果是同名端相連，如右下圖所示，他們整條電纜L13=L12=L43，也就是沒有磁耦合的電感相串聯的時候，是兩個電感量相加。

如果兩個電感之間有磁耦合它們相串聯，可以分成異名端相連和同名端相連的形勢。

我們先來左圖，2和4是異名端他們連在一起，那么主要是要求1和3之間的等效電感。我們先寫出1和3之間的電壓方程式

$u=(L_{1}\frac{_{di}}{dt}+M\frac{_{di}}{dt})+(L_{2}\frac{_{di}}{dt}+M\frac{_{di}}{dt})$ ，整理一下 $u=(L_{1}+2M+L_{2})\frac{di}{dt}$ ，把括號里的內容用LP表示，于是 $u=L_{p}\frac{di}{dt}$ 。

那么我們再看右邊是同名端相連的形式，也就是說23是同名端，那么求1、4之間的等效電感。我們同樣寫出1、4之間的電壓方程式 $u=(L_{1}-2M+L_{2})\frac{di}{dt}=L_{n}\frac{di}{dt}$ 。

根據前面的推導，兩個有磁耦合的電感互相串聯時得到一組公式，其中 $L_{p}=L_{1}+L_{2}+2M$ $L_{n}=L_{1}+L_{2}-2M$ ，那么就可以推導出來 $L_{p}-L_{n}=4M$ $L_{n}+L_{p}=2(L_{1}+L_{2})$ ，那么互感系數 $M=\frac{L_{p}-L_{n}}{4}$ ，耦合系數 $k=\frac{M}{\sqrt{L_{1}L_{2}}}$ 。那么有了互感的串聯，不同的串聯形式，我們得出的可以求得互系數和耦合系數，大家可以考慮一下它有什么樣的應用呢？

下面我們研究第二種情況，互感線圈的并聯。

那么第一種就是無互感線圈的并聯，無互感線圈的并聯可以直接套用電阻并聯的公式。那么如果兩個線圈L1和L2并聯他們的等效電感

$L=\frac{L_{1}L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$ 。

下面我們來研究有互感的線圈的并聯。請看圖，其中圖a是同名端連接的并聯，第二個圖是異名端連接的并聯，第三個圖是他們的等效電路圖。那么根據這個圖我們可以寫出電路方程，第一個方程是 $u=L_{1}\frac{di_{1}}{dt}\pm M\frac{di_{2}}{dt}$ 或者 $u=L_{2}\frac{di_{2}}{dt}\pm M\frac{di_{1}}{dt}$ 另外一個是對于節點的電流方程i1+i2=i，那么三個方程解三個未知量。

根據前面列出的三個電路方程，那么我們可以求解得出兩個互感線圈同名單并聯的時候 $L=\frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}-2M}$ ，當兩個互感線圈異名端并聯時 $L=\frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}+2M}$ 。

綜合上述兩個公式并聯時的等效電感為 $L=\frac{L_{1}L_{2}-M^{2}}{L_{1}+L_{2}\mp2M}$ ，其中當同名端并聯時取負號，異名端并聯時取正號。通常等效電感不可能小于0，因為 K<1，也就是 $L_{1}L_{2}-M^{2}>0$ 。假設兩個電感完全一樣，也就L1=L2 k接近于1，那么我們可以得到等效電感為 $L=\frac{L_{1}L_{2}-k^{2}L_{1}L_{2}}{L_{1}+L_{2}-2k\sqrt{L_{1}L_{2}}}$ ，那么經過整理推導 $L=\frac{1+k}{2}L_{1}\approx L_{1}$ 。