本文转自徐飞翔的“在图卷积网络中的可导池化操作”
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这一篇搁了很久了，今天突然想到就顺手写完了吧。之前我们在[1,2,3]中曾经讨论过图卷积网络的推导，以及其和消息传递（message passing）之间的关系，但是我们还没有讨论一个重要问题，那就是在图卷积网络中的池化（pooling）操作。池化操作对于一个卷积网络来说是很重要的，特别是对于节点众多的大规模图卷积网络，池化可以使得网络的参数大幅度减少，增强泛化性能并且提高模型的层次性结构化特征性能等。如何在图卷积网络中定义出如同在卷积网络中的可导的池化操作呢？单纯的聚类操作因为缺乏梯度流，不能实现端到端的训练而不能直接使用，在文章[4]中提出了DiffPool算子，该算子可以实现图卷积网络的可导池化。
poolFig 1. 对于卷积网络中的池化操作，要怎么才能在图卷积网络中找到其合适的替代品呢?DiffPool
DiffPool的思路很简单，可以用Fig 2表示，其中的 是上一层的输出特征，而
表示第
层的节点数。其中的DiffPool操作其实很简单，就是用一个分配矩阵（assign matrix）去进行自动聚类，有：
其中的 就是第
层的分配矩阵，注意到其是一个实矩阵。
Fig 2. DiffPool的示意简图。
现在的问题在于分配矩阵如何学习得到，可以认为DiffPool是一个自动端到端聚类的过程，其中分配矩阵代表了该层聚类的结果。如Fig 2所示，我们发现第 层的分配矩阵和特征都是由共同输入
学习得到的，我们有：
其中的 表示的是由图卷积单元层叠若干次而成的卷积模块，其中每一层可以表示为
其中的 表示的是经典的消息传递过程，具体见[3]。注意到
的形状决定了下一层的节点数
，参考公式(3)，这个超参数由
指定，而显然有
。为了约束分配矩阵的值的范围，对其进行了概率分布化，也即是
，按论文的说法，是逐行（row-wise）生效的。
在 中则负责特征
的生成，再与分配矩阵
进行DiffPool，见式子(1)，即完成了整个操作。辅助训练目标
然而据文章说，在实践中，单纯依靠梯度流去训练可导池化版本的GNN难以收敛，需要加些辅助约束条件。作者加了几个先验约束，第一作者认为 一个节点邻居的节点应该尽可能地池化到一起 (nearby nodes should be pooled together)，通过Frobenius 范数进行约束，有式子(4)
另一个约束是，分配矩阵的应该每一行尽可能是一个one-hot向量，这样每个聚类结果才能更清晰地被定义出来。通过最小化熵可以对其进行约束，有：
其中 表示对
的第
行求熵（entropy）。作者声称在图分类损失中添加(4)和(5)约束可以有着更好的性能，即便训练收敛需要更长的时间才能达到。从结果Fig 3中可以发现的确是添加了约束的效果要好些。其中在GraphSAGE的基线上，和其他池化方法（SET2SET，SORTPOOL）的对比说明了DiffPool的有效性和先进性。
Fig 3. 实验结果图。More
那么DiffPool得到的分配矩阵结果是否可靠呢？是否可以看成是聚类的结果呢？作者在原文中也提及了这件事儿，并且对池化结果进行了可视化，如Fig 4所示。可以发现DiffPool其的确是对节点进行了合理的聚类。
visFig 4. DiffPool结果的可视化，可以形成合理的聚类结果。
就笔者个人的读后感而已，DiffPool的操作类似于现在流行的自注意学习机制，分配矩阵不妨可以看成是自注意力矩阵对节点进行聚类，也可以认为自注意力机制在图网络中也是生效的。
Reference
[1]. https://fesian.blog.csdn.net/article/details/88373506
[2]. https://blog.csdn.net/LoseInVain/article/details/90171863
[3]. https://blog.csdn.net/LoseInVain/article/details/90348807
[4]. Ying, Rex, Jiaxuan You, Christopher Morris, Xiang Ren, William L. Hamilton, and Jure Leskovec. “Hierarchical graph representation learning with differentiable pooling.” arXiv preprint arXiv:1806.08804 (2018).