電感器寄生電容的計算

2004-11-8

                   薛天蓓  譯      姜勁   編校

1 引言

    任何一個電感器的極限工作頻率都受到其寄生電容的影響.電感器與變壓器的頻率響應在高頻段與在低頻段是不相同的.隨工作頻率的提高,集膚效應和臨近效應引起繞組寄生阻抗增大,與此同時,繞組的寄生電容更是不能忽視.因此,精確地預測電感器工作在幾百KHZ以上(如工作在開關電源中)時的頻率響應,對設計高頻功率電路是有積極意義的.不過繞組的寄生電容及阻抗都是分布參數,它們的值取決于頻率.所以,從理論上預測電感器的頻率響應特性的討論與分析較多地集中在繞組與磁心的損耗上,而單層或多層繞組的寄生電容對高頻特性的影響,則多以物理方面的理解,提出了一些實驗數據.本文提出了一種計算單層或多層繞組電感器的寄生電容的方法,該方法建立在理論分析和電感器的實物結構上,即根據電感器的幾何結構參數和繞組的層數來建立計算公式以預測寄生電容.例如,電感器的繞組常是分成許多相同的單元,使用其中一個單元的等效電路表達式,即可對無論是帶有磁心還是沒有磁心的單層或多層繞組的寄生電容進行計算,也可用作模擬試驗.通過實驗證明,該方法計算得出的寄生電容值是有很高準確度的.

2 電感器變壓器的寄生電容模型

    電感器和變壓器繞組具有分布寄生電容.這種電容可以通過連接在繞組兩端之間的一個電容器來摸擬,如圖1所示.本文對繞組的分布寄生電容進行分析是基于如圖2所示的由單線均勻繞制的電感器結構模型.

電感器總的寄生電容包括下列幾個部分:

a、 同一層繞組匝與匝之間的電容;

b、 相鄰層繞組匝與匝之間的電容;

c、 繞組每一匝對鐵心及屏蔽層的電容

    圖2所示為有規則地繞制的三層繞組的剖視圖.圖3畫出了匝與匝之間分布寄生電容的基本單元ABCD.由圖2圖3可見其繞組結構成幾何對稱,從繞組每一根導線發出的電力線完全被另外的導線包圍.如果假設線圈的各部分(匝與匝、匝與鐵心,匝與屏蔽層)彼此相距很近,則將沒有那一根電力線可以發出去無窮遠.因為繞組的結構呈幾何對稱,所以電力線肯定只在鄰近的導線間均勻分布.如果只考慮兩根相鄰的導線,其電容的微分式可寫為:ds = ε·ds/x ,(1)式中,ds為兩導線相對的表面面積的微分;ε=εo·εr  是介質材料的介電常數;x是這兩根導線對應表面之間的電力線長度.在一般情況下,長度x不是常數,但可以表示為一個給定的微面的函數.因此,應選擇某一個坐標系統.對于圓形導體,給定的微面可以用一個角座標值θ表述,見圖4所示.因此,dc也取決于角座標值θ.

3    匝間分布寄生電容

3.1  寄生電容的基本單元結構

    反映匝——匝之間寄生電容的基本單元(ABCD)如圖3所示.從中可以看出,對于繞組同一層次的相鄰兩線匝與不同層次的相鄰兩線匝的寄生電容基本單元是相同的.因此,里層的繞組都可以分解為相同的基本單元,只有鄰近鐵心和鄰近屏蔽層的單元與匝——匝間的單元不同.但如果采用一階近似算法,則可以考慮為所有的寄生電容的基本單元是相同的.由圖3所示可以看出,它們包含著每線匝的對應角度(=π/3)的周邊部分.因此,為了得到匝——匝間的寄生電容,式(1)應該在π/3上積分.由圖2和圖3示出的寄生電容單元的對稱性也說明了這種關系,使用一階近似計算時,對于沒有被完全包圍的導線也可以采用同樣的角度,這樣的近似計算法等于忽略了邊緣效應.

    寄生電容基本單元的電力線穿越三個不同的區域,即兩個絕緣層和它們之間的空氣隙.由此可見,相鄰兩匝間的寄生電容(dc)等同于三個微電容串聯,而且每一個電容器都有均勻的介質材料,第一個電容“寄生”于第一匝的絕緣層,第二個電容“寄生”在空氣隙,第三個電容“寄生”在第二匝的絕緣層.由于每匝導線表面可近似等效為“等勢面”,因此,電力線必定與導體表面正交.如果絕緣層的厚度尺寸S比導線直徑尺寸(包括絕緣層)Do小得很多,則絕緣層中電力線的路徑可以如圖4那樣作近似的處理.

    計算相鄰線匝空氣隙里實際的電力線路徑是很麻煩的,所以按可能的最短路徑進行保守的近似處理,該路徑平行于匝間的中心線,圖4畫出了其中一段,包括角坐標θ.這個近似處理對θ角度很小時很有效,對計算匝——匝間的寄生電容有很大的幫助.近似處理將產生計算誤差,導致在相對較大的θ值時,由理論計算出的寄生電容值較大.但是因匝——匝表面間的寄生電容隨著θ的增加而減小,故實際計算發生的誤差可被忽略.

3.2   絕緣層間的寄生電容

    圖5  位于絕緣層的單位園柱面,圖5表示一個圓柱面單元,它示出的是導線絕層內表面和導線絕緣層外表面之間的那一部分——絕緣層的厚度.絕緣層的寄生電容的表達式由其微分方程式給出:(2)式中,r為導線半徑(不含絕緣層),rc是在導線半徑ro(包括導線絕緣層)上的積分,l是在零到匝長lt的積分.式(2)中代入這些參數,可以得到dθ的絕緣層的寄生電容計算式:(3)由此式,對應于絕緣層的每個基本單元的單位角度的寄生電容由下式給出:(4)

3.3   空氣隙的寄生電容

    按圖4的幾何結構,假定電力線    的路徑之長度x對于θ的函數關系由下式給出:X(θ)= Do(1-cosθ),(5)導線單位長度(lt)的表面積(包括絕緣層)由下式給出: ds =(1/2·lt·Do)dθ,(6)單位角度的單位寄生電容為:(7)

3.4    基本單元的總寄生電容

    基本單元的電容由式(4)和式(7)串聯組合為下式:式中,Dc = 2 rc .

將式(8)積分,積分范圍為基本單元,可以求出匝——匝之間總的寄生電容:(9).

4 線匝與鐵心間的寄生電容

    表達式(9)也可用于計算線匝——鐵心和線匝——屏蔽層之間的寄生電容.由圖3可見,鐵心為恒電勢且垂直于對稱平面上;基本單元中導線間空氣隙中心到鐵心平面間的電力線長度是空氣隙相鄰兩線匝之間的電力線長度的一半.線匝到鐵心的基本寄生電容單元要比線匝與線匝之間的基本單元多.每一線匝的周邊部分(對應角度為π/2)被包含在線匝——鐵心基本單元中,這可以從圖2看出來.為簡化計算并用一階近似計算,可以考慮線匝——鐵心的基本單元數量與線匝——線匝的基本單元數相同.由此可得出計算線匝——鐵心間寄生電容的表達式:

Ctc = 2Ctt(10)圖6    基本單元內容.

5 求解寄生電容的簡化方案

    首先,我們將計算式(4)、(7)、(8)以圖表來表達,如圖(6),其中虛線代表式(7),點劃線代表式(4),實線代表式(8).由圖4和圖6可以看到,在θ=0時,電力線在空氣隙里的長度等于零,由曲線(7)給出的相應的寄生電容接近無窮大;當θ增大時,空氣隙里的電力線隨之變長,寄生電容也隨之變小.而由曲線(4)給出的寄生電容在全部基本單元中保持著恒值.因此,在較小的θ時,空氣隙里的寄生電容比絕緣層里的寄生電容的串聯組合大得多.而在較大的θ時,空氣隙里的寄生電容比絕緣層中的寄生電容串聯組合小得多.由式(9)給出的線匝——線匝間的寄生電容對應于圖6中的曲線(8)——實線以下的區域.曲線(7)——虛線和曲線(4)——點劃線相交于角θ*.這樣,可以通過曲線(4)之下、θ*之右的面積與曲線(7)以下、θ*之左的面積來逼近曲線(8)之下的面積.這個近似值很保守,因為后者的面積比前者大得多.因此,圖3所示的基本單元ABCD可以被劃分成三個部分:一個在中間的︱θ︱≤θ*,兩邊部分對應于θ*≤π/6和-π/6≤-θ*.從計算的角度考慮,可在︱θ︱≤θ*時,用式(4)給出的絕緣層的等效寄生電容和用式(7)給出的在θ*<︱θ︱≤π/6 時,空氣隙里的寄生電容來代替式(8)的等效電容.最后可以得到等效絕緣層中寄生電容的表達式:(11)在θ*以︱θ︱≤π/6對式(7)積分,則得到:(12)角θ*對應于圖6中的交點,可由表達式(4)與式(7)得到:(13)式中,Dc是導經(不包括絕緣層)的直徑.整理式(13)得到:(14),基本單元總的寄生電容等于各個部分寄生電容的并聯:(15)式中的θ*由式(14)算出.

6  總寄生電容

    為了確定圖1所示的電路的繞組的寄生電容,可采用線匝——線匝間電容值Ctt和線匝——鐵心間電容值Ctc的計算方法;圖2所示的多層線圈的等效的層——層之間和層——鐵心間的電容值,可用一個由集總參數電容構成的網絡去解決問題.實際上,在高頻范圍內,線匝間的電容Ctt的并聯電抗要比RLM支路的阻抗小得多.在高頻條件下工作時,線匝的感抗和阻抗可以忽略不計(因為它們處于開路狀態),所以,電容網絡被假設為計算全部線圈寄生電容的等效電路.在低頻工作時,線圈的感性阻抗具有支配影響,故這個辦法是不完善的.圖7出示了一個單層線圈繞制在同一鐵心上的集總電容網絡.該線圈的總寄生電容Cn可看作由n-1個線匝——線匝間電容串聯的等效電容.Cn = Ctt /(n-1),(16).圖7帶鐵心的單層繞線圈的集總電容網絡應該注意到,與前面所作的假設計算相比,式(16)的計算精度比較低.

6.1 帶鐵心單層線圈的總寄生電容

    對于如圖7所示的一個匝數為n的帶鐵心單層線圈的集總電容網絡可用作求解總寄生電容,n為任意數.為了簡化計算線匝與鐵心間的電容,將人為地把尺寸縮小,即把鐵心(或屏蔽層)視為一個簡單的節點,在此可以利用線路的對稱性將所有的線匝——鐵心(或線匝——屏蔽層)的電容都聯起來.

    對于由很多線匝構成的繞組,應首先計算中間的兩匝,這時n=2,網絡由匝間電容C12和相互平行的線匝——鐵心電容C1C與C2C的串聯組合而成.因為C1C=C2C=2Ctt,則兩匝間的等效電容可以寫為:Cn = Ctt + 2Ctt/2 = 2Ctt .

    對于匝數為奇數的線圈,則應首先計算線圈中間的三匝;對于n=3的電容網絡的等效電容,可把C2C分成兩等份來計算,如圖8所示,運用△/Y變換,其結果是Ctt/2 + Ctt/2 = Ctt/2 + 2Ctt/2 = 3/2 Ctt .因為等效電路的對稱性,這一結論也可以從觀察C2C對等效電容是無影響的而得出.

    為了計算由4匝或5匝構成的線圈的總寄生電容,可以在2匝或3匝線圈的兩邊加上幾匝,其總電容等于前面計算的電容與幾個線匝——線匝間電容串聯及幾個線匝——鐵心電容的并聯.當n=4時,(17),當n=5時,(18),同時在每一匝兩邊加匝或幾匝,則可計算出任何匝數的線圈的寄生電容.所以,當n=n時,(19)

式中,Cn(n-2)是(n-2)匝的線圈的寄生電容.從式(19)可以看到,隨著線圈匝數的增加,數列Cn(n)迅速收斂,Cn≈1.366 Ctt   (n≥10) (20).

6.2  不帶鐵心的兩層線圈的總寄生電容

     圖8   繞于鐵心上的三匝線的電容

    可以用以上的類似計算方法計算兩層不帶鐵心線圈的寄生電容.在此,假定第二層的匝數遠少于第一層且繞向相反.對應于匝數n的增加,可獲得連續的電容值,并迅速收斂于Cn≈1.618 Ctt, (n≥10),(21).

6.3  帶鐵心的兩層和三層線圈的總寄生電容

    按照以上同樣的假設,當線圈有鐵心時,n匝線圈的總寄生電容收斂于:Cn≈1. 83 Ctt(n≥10),(22)由以上討論可見,兩層線圈比單層線圈有更大的寄生電容,在高頻工作時且有更高的阻抗,因而兩層線圈不合適在高頻下工作.雖然三層線圈的總寄生電容減小了,但集總電容網絡變得更復雜了,對n>10的三層不帶鐵心的線圈(如圖2所示),其電容值收斂于:Cn≈0. 5733 Ctt,(23),由式(23)可見,三層線圈的寄生電容比兩層線圈的寄生電容小得多,但當層數增加時,臨近效應的影響將增大,因而高頻工作時應使用單層線圈電感.

7 理論計算結果與實際情況的對照

     現在以一經驗證用的帶鐵心變壓器單層繞組為例,與理論計算進行對照.

該線圈直徑為Dt=14.3m,匝數為95匝,則匝長為 lt = πDt = 3.14×14.3 = 44.925㎜.導線內外徑分別為Dc=0.45㎜,Do=0.495㎜,所以,絕緣厚度S=0.0225㎜.非浸漬鐵心的絕緣層的介電常數εr = 3.5.由式(14)、(15)和(20)可計算得出θ*= 0.2339rad ≈13.4°,Ctt = 5.318PF, Ds=7.26PF,電感量L=75.1μH.由上列數據可得出該電感器的諧振頻率 .

    我們用HP4194A阻抗/相位增益分析儀對該電感器進行測量.在100KHZ時其電感量L=75.1μH;測試所得諧振頻率為fr=6.2MHZ總寄生電容為Cs=8.77PF.自諧振頻率的誤差是9.68%,固有電容的誤差是 -17.2%.用表達式(9)可以計算Ctt:(24)由此值可見,線匝——線匝間的寄生電容Ctt比使用式(15)得出的值要小.因為式(15)是經過近似處理的,故在此前提下,其結果仍然是一致的.

8 結論

    以上提出了檢測電感器線圈的寄生電容的方法,得出了計算寄生電容的簡單表達式.隨著導線絕緣層的增加,寄生電容減小.

    上述方法適用于對單層和多層線圈的寄生電容的預測,也提出了匝數和層數對寄生電容的影響程度.

本得所做的工作是:

a、提出了計算電感器的寄生電容的方法與表達式.

b、這些方法可以適用于單層和多層線圈.

c、用此方法和模型對高頻工作的電感器的設計和模擬是簡單而且準確的.